Question

Se consideră funcția f:(1,+∞)-->R ,f(x)=(x^2-x+1)/(x-1).
Demonstrați că f(e)<7/2

Answer 1

Derivam functia : f'(x) = $\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2} }$
Expresia de la numitor este pozitiva, deci semnul derivatei depinde de semnul functiei de grad II :  x(x-2)
Rezolvam ecuatia : x(x-2) = 0
=> x₁ = 0  ; x₂ = 2
Deci f'(x) < 0 , pt x ∈ ( 0,2 ) 
        f'(x) > 0 , pt x ∈ (-∞;0) ∪ (2,∞)

Din consecinta teoremei lui lagrange
f este descrescatoare pe ( 0,2 ) 
f este crescatoare pe (-∞;0) ∪ (2,∞)

Poti oberva ca f(3) = 7/2
3 ∈ (-∞;0) ∪ (2,∞)
e ∈ (-∞;0) ∪ (2,∞)
3 > e

Din toate trei rezulta ca f(3) > f(e) ( f functie crescatoare)
=> 7/2 > f(e)