Question

Se considera functia f:(1, infinit)->R, f(x)=x+ln(x-1)
Sa se arate ca functia f este inversabila.

Answer 1

Pentru ca o functie sa fie inversabila, ea trebuie sa fie bijectiva. O functie este bijectiva daca este injectiva si surjectiva.O functie este injectiva daca este strict monotona pe domeniul de definitie (in cazul de fata, pe intervalul (1;∞)).f'(x)=(x+ln(x-1))'=x'+ln(x-1)'=1+1/x-1*(x-1)'=1+(x-1)'/x-1=1+1/x-1Functia este definita pe (1;∞), deci rezultatul calculului x-1 este pozitiv. Un numar pozitiv (in cazul de fata 1) impartit la alt numar pozitiv si adunat cu un numar pozitiv, este mereu mai mare strict ca 0.
Deci avem ca: f'(x)>0, oricare ar fi x din R. Daca derivata unei functii este strict pozitiva, atunci functia este strict crescatoare.Functia f fiind strict crescatoare, ea este injectiva.O functie este surjectiva daca functia este continua si limitele la capetele domeniului de definitie sunt chiar capetele domeniului.lim x->inf f(x)=lim x->inf (x+ln(x-1))=inflim x->1 f(x)=lim x->1 (x+ln(x-1))=1Deci observam ca limitele coincid cu capetele domeniului de definitie. Cum functia f este data de o singura relatie si nu avem puncte scoase din domeniul de definitie, functia f este surjectiva.Daca functia f este injectiva si surjectiva, atunci functia este bijectiva, deci si inversabila.