Question

Se considera functia f:C-C, f(z)=3z-4z conjugat.
b) Aratati ca (f compus f)(z)=25z-24z conjugat.
c) Aratati ca f(z)=0 daca si numai daca z=0.

Answer 1

Un numar complex z are forma generala z = a + bi

z conjugat = a - bi

f : C -> C, f(z) = 3z - 4$\overline{z}$

f(z) = 3 * (a + bi) - 4 * (a - bi)

f(z) = 3a + 3bi - 4a - 4bi

f(z) = -a - bi = -(a + bi)

a) (f compus f)(z) = f(f(z))

f(f(z)) = f(-(a+bi))

f(-(a+bi)) = -3a -3bi + 4a + 4bi

f(f(z)) = a + bi

25z - 24$\overline{z}$ = 25 * (a + bi) - 24 * (a - bi)

= 25a + 25bi - 24a - 24bi

= a + bi = f(f(z))

⇒ 25z - 24$\overline{z}$ = (f compus f)(z)

Q.E.D.

b) f(z) = 0 ⇒ -(a + bi) = 0

-(a + bi) = 0 ⇒ a + bi = 0

cum a + bi = z ⇒ a + bi = 0 echivalent cu z = 0

f(z) = 0 ⇔ z = 0

Q.E.D.