Question

Se consideră funcţia f : ℝ -> ℝ → , f(x)=e^x - x

Demonstraţi că e^x ≥ x+1 , pentru orice x∈ℝ .

Answer 1

$e^x \geq x+1$  <=>  $e^x-x \geq 1$ <=> $f_{(x)} \geq 1$

$f'_{(x)}=e^x-1$
$f'_{(x)}=0 => e^x-1=0=>x=0$
$f_{(0)}= 1$

Facem tabelul (l-am lăsat în imagine) şi observăm că pe intervalul (-infinit,0) funcţia scade, iar pe (0,+infinit) creşte, deci f(0) este minimul funcţiei

Dacă 1 este punct de minim înseamnă că:

$f_{(x)} \geq 1$ qed