Question

se considera funcția
f:R->R
$f(x) = {e}^{x } - x$
a) demonstrati ca
$\sqrt[100]{e} > \frac{101}{100}$
​

Answer 1

$\sqrt[100]{e} > \dfrac{101}{100} \Rightarrow \sqrt[100]{e}>1+\dfrac{1}{100} \Rightarrow e^{\dfrac{1}{100}}- \dfrac{1}{100} - 1 > 0~~ (A)? \\ \\ \text{Consideram functia }f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},~~f(x) = e^x-x-1 \\ \\ \text{Trebuie sa demonstram ca }f\Big(\dfrac{1}{100}\Big) >0 \\ \\ f'(x) = e^x - 1 \\ f'(x) = 0 \Rightarrow e^x-1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0$

$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = +\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$

$\Rightarrow f(0) = f_{min} \Rightarrow f_{min} = e^0-0-1 = 1-1 = 0 \\ \\ \Rightarrow f(x) > 0,\quad \forall x\in \mathbb{R}^* \\ \\ \Rightarrow f\Big(\dfrac{1}{100}\Big) > 0 \Rightarrow \sqrt[100]{e} >\dfrac{101}{100}$

Answer 2

Răspuns:

asa este!!

Explicație pas cu pas:

f'(x) =e^x-1 care se anuleaz pt x=0 , inainte de 0 este negativa, dupa care este pozitiva

deci f(0) are un minim=0

f(0)=1

1/100>0 si functia e crescatoarepe R+, deci relatia de ordine a argumentelor se pastreaza si pt functie

f(1/100)>f(0)=e^0-0=1-0=1

e^(1/100)-1/100>1

e^(1/100)>1+1/100

e^(1/100)>101/100 C.C.T.D.