Question

Se considera functia f:R->R unde:
 f(x)=(x+1)²+(x-1)²
a)Sa se calculeze f'(x) pentru oricare x∈R
b)Sa se calculeze    lim          ;$\frac{f(x)}{ x^{2} }$
                              x->infinit
c)Sa se determine intervalele de monotonie (eventual pct. de extremitate ale functiei g'(x)=$\frac{f'(x)}{f(x)}$

Answer 1

f(x)'=2(x+1)+2(x-1)=2x+2+2x-2=4x
lim(x->infinit)  f(x)/xpatrat=lim(x->infinit)( xpatrat+2x+1+xpatrat-2x+1)/xpatrat=lim(x->infinit)(2xpatrat+2)/xpatrat=lim(x->infinit) xpatrat(2+2/xpatrat)/xpatrat=2
g(x)'=f(x)'/f(x)=4x/2(xpatrat+1)=2x/(xpatrat+1)
(g(x)')'=(2(xpatrat+1)-2x*2x)/(xpatrat+1)patrat=2(1-x)(1+x)/(xpatrat+1)la patrat
=>pe intervalul (-infinit,-1)U(1,+infint)functia b(x) descrescatoare, iar pe intervalul (-1 ,1) b(x) crescatoare, la intervalul de mai sus la -1 si +1 intervale inchise ,iar la cel de al doilea interval sunt deschise la -1,+1;