Question

Se consideră funcția f(x)=x^2-lnx

Arătați că funcția f este convexă

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Pentru ca functia f sa fie convexa pe (0,∞) ..f''(x)>0

f'(x)=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2x^{2}-1 }{x}$

f''(x)=$\frac{4x^{2-2x^{2}+1 } }{x^{2} }$

f''(x)=$\frac{2x^{2}+1 }{x^{2} }$

Evident f''(x)>0  ...Deoarece 2$x^{2}$+1>0,respectiv $x^{2}$>0

De aici rezulta ca f-convexa

Answer 2

f(x)=x²-ln x;

Df=(0, ∞);

f'(x)=2x-1/x;

f''(x)=2+1/x²=(2x²+1)/x²;

f''(x)=0 ⇒ 2x²+1=0⇒Δ=-8<0⇒ecuația nu are soluții reale;

$\lim_{x \to 0,x>0} f(x)=0-(-infinit)=infinit;\\  \lim_{x \to \infty} f(x)=infinit;$

f''(1)=3>0 =>semn plus

=> funcție convexă