Question

Se considera funcția f(x)=x+lnx.Sa se studieze dacă f-inversabila și in caz afirmativ sa se calculeze limita L.

Answer 1

$f(x) = x+\ln x$

Funcția e bijectivă, deoarece x e funcție liniară crescătoare bijectivă iar ln se știe că e bijectivă, iar o sumă de funcții bijective crescătoare e tot bijectivă deci, inversabilă.

$\\L = \lim\limits_{y\to-\infty} e^{-y}f^{-1}(y)\\ \\\\ y = f(x) \Rightarrow y = x+\ln x \\ y\to-\infty \Rightarrow x\searrow 0 \\ \\\\ L = \lim\limits_{x\searrow 0}e^{-f(x)}f^{-1}\Big(f(x)\Big) \\ \\ L = \lim\limits_{x\searrow 0}e^{-x-\ln x}\cdot x$

$L = \lim\limits_{x\searrow 0}e^{-x}\cdot \dfrac{1}{e^{\ln x}}\cdot x \\ \\ L = \lim\limits_{x\searrow 0}e^{-x}\cdot \dfrac{1}{x}\cdot x \\ \\ L = \lim\limits_{x\searrow 0}e^{-x}$

$\Rightarrow L = e^{0} \Rightarrow\boxed{L = 1}$