Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow(0,1), f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$.

$5 p$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right), x \in(0,+\infty)$.

$5 p$ b) Calculați $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{3}{2}+f^{\prime}(1)+f^{\prime}(2)+\ldots+f^{\prime}(n)\right)^{\sqrt{n}}$.

5p c) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Answer 1

$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1} }-\frac{1}{2\sqrt{x} } =\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{x+1} } -\frac{1}{\sqrt{x} } )$

b)

$f'(1)+f'(2)+...+f'(n)=\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2} } -\frac{1}{\sqrt{1} }+\frac{1}{\sqrt{3} } -\frac{1}{\sqrt{2} } +...+\frac{1}{\sqrt{n+1} } -\frac{1}{\sqrt{n} } )$

Observam ca se reduc termenii si ne ramane:

$f'(1)+f'(2)+...+f'(n)=\frac{1}{2}( \frac{1}{\sqrt{n+1} } -1)=\frac{1}{2\sqrt{n+1} } -\frac{1}{2}$

$\lim_{n \to +\infty} (\frac{3}{2}+\frac{1}{2\sqrt{n+1} }-\frac{1}{2})^{\sqrt{n} }= \lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{2\sqrt{n+1} })^{\sqrt{n} }= \lim_{n \to +\infty} [(1+\frac{1}{2\sqrt{n+1} })^{2\sqrt{n+1}}]^{\frac{\sqrt{n} }{2\sqrt{n+1} }}=\\\\ =e^{ \lim_{n \to+ \infty} \frac{\sqrt{n} }{2\sqrt{n+1} }}=e^\frac{1}{2}$

Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului, limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mare

c)

O functie este bijectiva daca este injectiva si surjectiva

Facem monotonia functiei f

$\sqrt{x+1} > \sqrt{x} \\\\\frac{1}{\sqrt{x+1} } < \frac{1}{\sqrt{x} }$

$\frac{1}{\sqrt{x+1} } -\frac{1}{\sqrt{x} } < 0\\\\f'(x) < 0$

f este strict descrescatoare pe (0,+∞) f este injectiva

$\lim_{x \to 0}f(x)=1-0=1\\\\ \lim_{x \to +\infty} f(x)= \lim_{x \to +\infty}\frac{x+1-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x} }= \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x} } =0$

Am facut conjugata (am amplificat cu opusul)

f este monotona si continua pe (0,+∞)⇒ f este surjectiva

Deci f este bijectiva

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919124

#BAC2022

#SPJ4