Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-e^{x}$.

5p a) Arătaţi că $\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{3}{2}-e$.

$5 \mathbf{p}$ b) Calculați $\int_{0}^{1} x f(x) d x$.

$5 \mathbf{p}$ c) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n}(x-f(x)) d x$. Demonstrați că $I_{n}+n I_{n-1}=e$, pentru orice număr natural $n, n \geq 2$.

Answer 1

$f(x)=x-e^{x}$

a)

Vezi tabelul de integrale din atasament

$\int\limits^1_0 {x-e^x} \, dx =\frac{x^2}{2}|_0^1-e^x|_0^1=\frac{1}{2}-e+e^0=\frac{3}{2}-e$

b)

$\int\limits^1_0 {x(x-e^x)} \, dx =\frac{x^3}{3}|_0^1 -\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx =\frac{1}{3}-xe^x|_0^1+e^x|_0^1 =\frac{1}{3} -e+e-1=-\frac{2}{3}$

$\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx=$

$f=x\ \ \ \ \ f'=1\\\\ g'=e^x\ \ \ \ g=e^x\\\\\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx=xe^x|_0^1-\int\limits^1_0 {e^x} \, dx=xe^x|_0^1-e^x|_0^1=e-e+1=1$

c)

$I_n=\int\limits^1_0 {x^ne^x} \, dx$

Integram prin parti

$f=x^n\ \ \ \ f=nx^{n-1}\\\\g'=e^x\ \ \ \ g=e^x\\\\I_n=x^ne^x|_0^1-\int\limits^1_0 {nx^{n-1}e^x} \, dx=e-nI_{n-1}$

$I_n+nI_{n-1}=e-nI_{n-1}+nI_{n-1}=e$

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918948

#BAC2022

#SPJ4