Question

Se consideră funcţiile $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{x}+e^{x}+m$, unde $m$ este număr real, şi $F:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\ln x+e^{x}+4 x+1$.

5p a) Determinați numărul real [tex][tex]$m$[tex][tex] astfel încât funcția [tex]$F$[tex] să fie o primitivă a functiei [tex]$f$[tex].
$5 p$ b) Pentru $m=4$, calculați $\int_{1}^{e} f(x) d x$
5p c) Pentru $m=0$, calculați $\int_{1}^{2} x f(x) d x$.

Answer 1

$f(x)=\frac{1}{x}+e^{x}+m\\\\F(x)=\ln x+e^{x}+4 x+1$

a)

Determinati numarul real m, astfel incat functia F sa fie o primitiva a functiei f

F'(x)=f(x)

$\frac{1}{x}+e^x+4= \frac{1}{x}+e^x+m\\\\m=4$

b)

m=4

$\int\limits^e_1 {\frac{1}{x}+e^x+4 } \, dx$

"Spargem" integrala in trei integrale si obtinem:

$\int\limits^e_1 {\frac{1}{x} } \, dx +\int\limits^e_1 {e^x} \, dx +\int\limits^e_1 {4} \, dx =lnx|_1^e+e^x|_1^e+4x|_1^e=lne-ln1+e^e-e+4e-4=1+e^e+3e-4=e^e+3e-3$

c)

m=0

$\int\limits^2_1 {x(\frac{1}{x}+e^x) } \, dx =\int\limits^2_1 1\ dx+\int\limits^2_1 xe^x\ dx=x|_1^2+xe^x|_1^2-e^x|_1^2=1+2e^2-e-e^2+e=e^2+1$

Nota: am luat a doua integrala si am calculat-o prin parti

$f=x\ \ \ \ \ f'=1\\\\g'=e^x\ \ \ \ g=e^x\\\\xe^x|_1^2-\int\limits^2_1{e^x} \, dx=xe^x|_1^2-e^x|_1^2$

Un alt exercitiu cu primitiva unei functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3195374

#BAC2022