Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-2 \ln x$.

$5 p$ a) Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{2(x-1)(x+1)}{x}, x \in(0,+\infty)$.

$5 p$ b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

5p c) Demonstrați că $\ln \frac{2}{3} \leq-\frac{5}{18}$.

Answer 1

$f(x)=x^{2}-2 \ln x$

a)

Calculam f'(x)

(Vezi tabelul de integrale in atasament)

$f'(x)=2x-\frac{2}{x} =\frac{2x^2-2}{x} =\frac{2(x^2-1)}{x} =\frac{2(x-1)(x+1)}{x}$

b)

Monotonia functiei f

f'(x)=0

2(x-1)(x+1)=0

x-1=0, x=1

x+1=0, x=-1

Tabel semn

x      -∞          -1        0         1            +∞

f'(x)  + + + + + 0 - - - |- - - - -0 + + + + +

f(x)                           |    ↓    f(1)        ↑

Pe intervalul (0,1] functia f este descrescatoare si pe intervalul [1,+∞) functia f este crescatoare

c)

Ne folosim de punctul b

Pe intervalul (0,+∞)

f(x)≥f(1)

$f(\frac{2}{3})\geq f(1)\\\\ \frac{4}{9}-2ln\frac{2}{3} \geq 1-2ln1\\\\ \frac{4}{9}-2ln \frac{2}{3}\geq 1\\\\ \frac{4}{9}-1\geq 2ln\frac{2}{3} \\\\\frac{-5}{9} \geq 2ln\frac{2}{3} \ \ \ |:2\\\\-\frac{5}{18}\geq ln\frac{2}{3}$

Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4122921

#BAC2022

#SPJ4