Question

Se consideră funcţia $f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x+2 \ln (2 x+1)$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătaţi că $\int_{0}^{1}(f(x)-2 \ln (2 x+1)) d x=\frac{1}{2}$.

$5 p$ b) Calculatii $\int_{0}^{1} f(x) d x$.

5p c) Dacă $F$ este o primitivă a funcției $f$, arătați că $F(\pi) \leq F\left(\frac{16}{5}\right)$.

Answer 1

$f(x)=x+2 \ln (2 x+1)$

a)

$\int\limits^1_0 {x} \, dx=\frac{x^2}{2}|_0^1=\frac{1}{2}$

Vezi tabelul de integrale din atasament

b)

$\int\limits^1_0 {x+2ln(2x+1)} \, dx =\frac{1}{2}+ 2\int\limits^1_0 {ln(2x+1)} \, dx=\frac{1}{2}+2(ln3-1+\frac{ln3}{2} )=\frac{1}{2}+2ln3-2+ln3=3ln3-\frac{3}{2}$

Luam integrala si o integram prin parti

$\int\limits^1_0 {ln(2x+1)} \, dx$

$f=ln(2x+1)\ \ \ f'=\frac{2}{2x+1} \\\\g'=1\ \ \ \ \ \ \ \ g=x\\\\\int\limits^1_0 {ln(2x+1)} \, dx=xln(2x+1)|_0^1-\int\limits^1_0\frac{2x}{2x+1} \ dx=ln3-\int\limits^1_01\ dx+\int\limits^1_0\frac{1}{2x+1}\ dx=ln3-1+\frac{1}{2}ln(2x+1)|_0^1=\\\\ =ln3-1+\frac{ln3}{2}$

c)

F este primitiva lui f

F'(x)=f(x)

Facem monotonia functiei F

F'(x)≥0⇒ F este crescatoare pe [0,+∞)

$\pi\leq \frac{16}{5} \\\\F(\pi)\leq F(\frac{16}{5})$

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918932

#BAC2022

#SPJ4