Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-\sqrt{x}$.

$5 p$ a) Arătati că $\int_{1}^{4}(f(x)+\sqrt{x}) d x=21$

$5 p$ b) Demonstrați că funcția $F:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{2 x \sqrt{x}}{3}+2020$ este o primitivă a funcției $f$.

$5 p$ c) Arătați că $\int_{1}^{2}(f(x)+\sqrt{x}) e^{x} d x=e(2 e-1)$.

Answer 1

$f(x)=x^{2}-\sqrt{x}$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$\int\limits^4_1 {x^2} \, dx =\frac{x^3}{3}|_1^4=\frac{64}{3} -\frac{1}{3} =\frac{63}{3} =21$

b)

F este primitiva lui f

F'(x)=f(x)

$F'(x)=x^2-(\frac{2}{3}x\cdot x^{\frac{1}{2} })' +0=x^2-\frac{2}{3} (x^{\frac{3}{2}})'=x^2-x^{\frac{1}{2}}=x^2-\sqrt{x} =f(x)$

c)

$\int\limits^2_1 {x^2e^x} \, dx$

Rezolvam integrala prin parti

$f=x^2\ \ \ \ \ f'=2x\\\\g'=e^x\ \ \ \ \ g=e^x$

$\int\limits^2_1 {x^2e^x} \, dx=x^2e^x|_1^2-2\int\limits^2_1 {xe^x} \, dx=4e^2-e-2(xe^x|_1^2-e^x|_1^2)=4e^2-e-2(2e^2-e-e^2+e)=4e^2-e-2e^2=2e^2-e=e(2e-1)$

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928468

#BAC2022

#SPJ4