Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{4}-4 \ln x$.

$5 p$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{4(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)}{x}, x \in(0,+\infty)$.

$5 \mathbf{b}$ b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficului funcției $f$.

$5 p$ c) Demonstrați că, pentru fiecare număr natural $n, n \geq 2$, ecuația $f(x)-n=0$ are două soluții reale distincte.

Answer 1

$f(x)=x^{4}-4 \ln x$

a)

Derivam f si obtinem:

$f'(x)=4x^3-\frac{4}{x} =\frac{4x^4-4}{x} =\frac{4(x^2-1)(x^2+1)}{x}=\frac{4(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x}$

b)

Ecuatia asimptotei verticale la graficului funcției f

Calculam limita spre 0 din f(x)

$\lim_{x \to 0} x^4-lnx=0-ln0=0-\infty=+\infty$

c)

f(x)-n=0

Facem monotonia functiei f

f'(x)=0

4(x-1)(x+1)(x²+1)=0

x-1=0, x=1

x+1=0, x=-1

x²+1=0

x²=-1<0, nu are solutii reale

Tabel semn

x       -∞          -1     0       1          +∞

f(x)  + + + + + +0-  - - - -  0 + + + + +

f(x)          ↑      f(-1)  ↓     f(1)      ↑

                                       1

x∈(0,+∞)

Pe intervalul (0,1) f este descrescatoare si pe (1,+∞) f este crescatoare

f(1)=1-4ln1=1

f(0)=+∞

f(+∞)=+∞

Deci vom avea doua solutii reale distincte pe (0,1) si (1,+∞)

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1017355

#BAC2022

#SPJ4