Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x \ln x$.

5p a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=1+\ln x, x \in(0,+\infty)$.

$5 \mathbf{p}$ b) Determinaţi $m \in(0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul functiei $f$ în punctul $M(m, f(m))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=2 x$.

$5 p$ c) Demonstrați că $x \ln x+\frac{1}{e} \geq 0$, pentru orice $x \in(0,+\infty)$. şirul $\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent.

Answer 1

f(x)=xlnx

a)

Ne folosim de formula de derivare:

(fg)'=f'g+fg'

f'(x)=x'lnx+x(lnx)'

$f'(x)=lnx+x\frac{1}{x} =lnx+1$

b)

Tangenta la graficul functiei f este in punctul M(m,f(m)) si este paralela cu dreapta de ecuatie y=2x, panta=2

Pantele sunt egale

f'(m)=2

ln m+1=2

ln m=1

m=e

c)

Vom face monotonia functiei f

f'(x)=0

ln x+1=0

lnx=-1

x=e⁻¹

Tabel semn:

x      -∞    0      e⁻¹          +∞

f'(x)  - - - - - - -  0 + + + + +

f(x)        ↓       f(e⁻¹)       ↑

                       $-\frac{1}{e}$

$f(e^{-1})=f(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}\cdot ln\frac{1}{e}= \frac{1}{e}(ln1-lne)=\frac{1}{e}(0-1)=-\frac{1}{e}$

f este descrescatoare pe $(0,\frac{1}{e})$ si crescatoare pe $(\frac{1}{e},+\infty)$

$f(x)\geq$ $f(\frac{1}{e})$

$xlnx\geq -\frac{1}{e}\\\\xlnx+\frac{1}{e}\geq 0$$,\ x\in(0,+\infty)$

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/8831045

#BAC2022

#SPJ4