Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{n}-n \ln x+1$, unde $n$ este număr natural nenul.

$5 p$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{n\left(x^{n}-1\right)}{x}, x \in(0,+\infty)$.

$5 p$ b) Arătați că $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)-x^{n}}{x}=0$, pentru orice număr natural nenul $n$.

$5 p$ c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care ecuația $f(x)=a$ are soluție in intervalul $(0,1]$

Answer 1

$f(x)=x^{n}-n \ln x+1$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=nx^{n-1}-\frac{n}{x} =\frac{nx^n-n}{x} =\frac{n(x^n-1)}{x}$

b)

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n-nlnx+1-x^n}{x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{1-nlnx}{x} =\frac{\infty}{\infty}$

Aplicam L'Hopital, derivam numitor, derivam numarator

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{-n}{x} }{1} = \lim_{x \to +\infty} -\frac{n}{x} =-\frac{n}{\infty} =0$

c)

Monotonia functiei f

$f'(x)=0\\\\n(x^n-1)=0\\\\x^n-1=0\\\\x^n=1\\\\x=1$

Tabel semn

x          0           1           +∞

f'(x)     - - - - - - - 0

f(x)         ↓        f(1)

Pe intervalul (0,1] f este descrescatoare

f(1)=1-0+1=2

$\lim_{x \to +0} f(x)=-(-\infty)=+\infty$

Deci avem o solutie in intervalul (0,1], pentru a∈[2,+∞)

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928401

#BAC2022

#SPJ4