Question

Se consideră funcţia $f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-\sqrt{x+1}$.

$5 p$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{2 \sqrt{x+1}-1}{2 \sqrt{x+1}}, x \in(-1,+\infty)$.

$5 p$ b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.

$5 p$ c) Demonstrați că $\ln x \geq \sqrt{\ln x+1}+1-\sqrt{2}$, pentru orice $x \in[e,+\infty)$.

Answer 1

$f(x)=x-\sqrt{x+1}$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x+1} } =\frac{2\sqrt{x+1}-1 }{2\sqrt{x+1} }$

b)

Monotonia functiei f

f'(x)=0

$2\sqrt{x+1} -1=0\\\\2\sqrt{x+1} =1\ \ |^2\\\\4(x+1)=1\\\\4x+4=1\\4x=-3\\\\x=-\frac{3}{4}$

Tabel semn

x         -1          $-\frac{3}{4}$         +∞

f'(x)  - - - - - - - - 0 + + + +

f(x)         ↓       f($-\frac{3}{4}$)    ↑

c)

Am demonstrat la punctul b ca functia f este crescatoare pe $[-\frac{3}{4} ,+\infty)$

Deci f este crescatoare pe [1,+∞)

f(lnx)≥f(1)

$lnx-\sqrt{lnx+1} \geq 1-\sqrt{2} \\\\lnx\geq \sqrt{lnx+1} +1-\sqrt{2}$

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928380

#BAC2022

#SPJ4