Question

Se consideră funcţia $f:(2,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x-2}$.

5p a) Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^{2}}, x \in(2,+\infty)$.

$5 p$ b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $x=3$, situat pe graficul funcției $f$.

$5 p$ c) Demonstraţi că funcția $f^{\prime}$ este crescătoare pe $(2,+\infty)$.

Answer 1

$f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x-2}$

a)

Calculam f'(x) dupa formula de derivare $(\frac{f}{g} )'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

$f(x)=\frac{2(x-1)(x-2)-(x-1)^2}{(x-2)^2}=f(x)=\frac{2x^2-6x+4-x^2+2x-1}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-1)^2} =\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$

b)

Ecuatia tangentei in punctul a

y-f(a)=f'(a)(x-a)

Ecuatia tangentei in x=3

y-f(3)=f'(3)(x-3)

$f(3)=\frac{4}{1} =4\\\\f'(3)=0$

y-4=0(x-3)

y-4=0

y=4

c)

Pentru a demonstra ca functia f' este crescatoare pe un interval, va trebui sa facem monotonia functiei f'

Monotonia functiei f'

f''(x)=0

$f''(x)=\frac{(2x-4)(x-2)^2-2(x^2-4x+3)(x-2)}{(x-2)^4} =\frac{2(x-2)[(x-2)^2-x^2+4x-3]}{(x-2)^4} \\\\f''(x)=\frac{2(x^2-4x+4-x^2+4x-3)}{(x-2)^3}=\frac{2}{(x-2)^3}$

x>2⇒x-2>0⇒ $\frac{2}{(x-2)^3} > 0$⇒ f este crescatoare pe (2,+∞)

Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2582000

#BAC2022

#SPJ4