Question

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x^{2}+2}-a x$, unde $a$ este număr real.

5 p a) Pentru $a=0$, arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}, x \in \mathbb{R}$.

5p b) Determinați numărul real $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=\sqrt{2}$, situat pe graficul funcției $f$, este paralelă cu axa $O x$.

$5 p$ c) Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, graficul funcției $f$ admite asimptotă spre $+\infty$.

Answer 1

$f(x)=\sqrt{x^{2}+2}-a x$

a)

a=0

Ne folosim de tabelul de derivate ( vezi atasament )

$f'(x)=(\sqrt{x^2+2})'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2} } =\frac{x}{\sqrt{x^2+2} }$

b)

Doua drepte sunt paralele daca pantele lor sunt egale

$f'(\sqrt{2} )=0\\\\\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2+2} } -a=0\\\\\frac{\sqrt{2} }{2} =a$

c)

Calculam asimptota orizontala spre +∞

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2} -ax=\infty-\infty\ forma\ nedeterminata$

Calculam asimptota oblica:

$m= \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+2} -ax}{x} =\frac{x(1+\frac{\sqrt{2} }{x}-a) }{x} =1-a\\\\\frac{\sqrt{2} }{x}\to 0 \\\\n= \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2}-ax-(1-a)x= \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2}-ax-x+ax=\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2}-x\\\\Rationalizam\\\\n= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}+x } \\\\n= \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x^2+2}+x } =0$

Dreapta de ecuatie y=(1-a)x este asimptota oblica spre +∞

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905550

#BAC2022

#SPJ4