Question

Se consideră matricea $A(m, x)=\left(\begin{array}{ccc}2 & -x & 1 \\ 1 & m & 3 \\ 3 & -2 & x\end{array}\right)$, unde $m$ şi $x$ sunt numere reale.

5p a) Arătați că $\operatorname{det}(A(4,2))=0$.

$5 p$ b) Determinați rangul matricei $A(2,1)$.

5p c) Determinaţi perechile de numere naturale nenule şi distincte $(n, p)$ pentru care $\operatorname{det}(A(3, n))=\operatorname{det}(A(3, p))$.

Answer 1

$A(m, x)=\left(\begin{array}{ccc}2 & -x & 1 \\ 1 & m & 3 \\ 3 & -2 & x\end{array}\right)$

a)

det(A(4,2))=0

Calculam det(A(4,2)), inlocuim pe m cu 4 si pe x cu 2, punem primele doua linii ale determinantului si obtinem:

$det(A(4, 2))=\left|\begin{array}{ccc}2 & -2 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \\ 3 & -2 & 2\end{array}\right|$

                         2   -2     1

                         1     4     3

det(A(4,2))=(16-2-18)-(12-12-4)=-4+4=0

b)

$A(2, 1)=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1\end{array}\right)$

Calculam det(A(2,1))

$det(A(2, 1))=\left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1\end{array}\right|$

                         2    -1     1

                         1      2    3

det(A(2,1))=(4-2-9)-(6-12-1)=-7+7=0⇒ rang≤2

$\left|\begin{array}{ccc}2&-1\\1&2\\\end{array}\right|=4+1=5\neq 0$       ⇒ rang=2

c)

det(A(3,n))=det(A(3,p))

$det(A(3, n))=\left|\begin{array}{ccc}2 & -n & 1 \\ 1 & 3 & 3 \\ 3 & -2 & n\end{array}\right|$

                         2    -n     1

                         1      3     3

det(A(3,n))=(6n-2-9n)-(9-12-n²)=n²-3n+1

Deci n²-3n+1=p²-3p+1

(n-p)(n+p-3)=0

n=p nu se poate

n+p=3

n=1 si p=2 sau n=2 si p=1

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905463

#BAC2022

#SPJ4