Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{2}+1}{e^{x}}$.

$5 \mathbf{a}$ a) Arătați că $\int_{0}^{1} e^{x} f(x) d x=\frac{4}{3}$

\begin{tabular}{l|l}
$[ 5 \mathbf{p}$ & $\mathbf{b})$ Calculați $\int_{0}^{1} f(-x) d x .$ \\
$5 \mathbf{p}$ & c) Determinați numerele reale $a$ și $b$, ştiind că funcția $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=e^{-x}\left(-x^{2}+a x+b\right)$ este o primitivă a funcției $f .$
\end{tabular}

Answer 1

$f(x)=\frac{x^{2}+1}{e^{x}}$

a)

$\int\limits^1_0 {x^2+1} \, dx =\frac{x^3}{3}|_0^1+x|_0^1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$

Atasez tabelul de integrale

b)

$\int\limits^{1}_{0} {\frac{x^2+1}{e^{-x}} } \, dx =\int\limits^{1}_{0}e^x(x^2+1)\ dx=\int\limits^{1}_{0}e^xx^2\ dx+\int\limits^{1}_{0}e^x\ dx=e-2+e-1=2e-3$

$\int\limits^{1}_{0}e^xx^2\ dx$

Luam acesta integrala separat si o integram prin parti

$f=x^2\ \ \ \ f'=2x\\\\g'=e^x\ \ \ g=e^x\\\\\int\limits^{1}_{0}e^xx^2\ dx=x^2e^x|_0^1-\int\limits^1_0 {2xe^x} \, dx =e-2xe^x|_0^1+\int\limits^{1}_{0}2e^x\ dx=e-2e+2e-2=e-2$

c)

F este o primitiva a functiei f

F'(x)=f(x)

$F(x)=e^{-x}(-x^2+ax+b)\\\\F'(x)=-e^{-x}(-x^2+ax+b)+e^{-x}(-2x+a)\\\\-e^{-x}(-x^2+ax+b)+e^{-x}(-2x+a)=\frac{x^2+1}{e^x} \\\\e^{-x}(x^2-ax-b-2x+a)=\frac{x^2+1}{e^x}\\\\ x^2-ax-b-2x+a=x^2+1$

-a-2=0

a=-2

-b+a=1

-b-2=1

b=-3

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918889

#BAC2022

#SPJ4