Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}, x \in \mathbb{R}$.

$5 \mathbf{p}$ b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul $a$, tangentele la graficul funcţiei $f$ în punctele $A(a, f(a))$ şi $B(-a, f(-a))$ sunt paralele.

$5 p$ c) Calculatii $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)-f(-x)}{\ln x}$.

Answer 1

$f(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1} } }{x+\sqrt{x^2+1} } =\frac{\sqrt{x^2+1}+x }{(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1} } =\frac{1}{\sqrt{x^2+1} }$

b)

Doua drepte sunt paralele daca pantele lor sunt egale

f'(a)=f'(-a) (asta trebuie sa demonstram)

$f'(a)=\frac{1}{\sqrt{a^2+1} } \\\\f'(-a)=\frac{1}{\sqrt{a^2+1} }$

Observam ca sunt egale

c)

$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)-f(-x)}{lnx} = \lim_{x \to +\infty} \frac{ln\frac{x+\sqrt{x^2+1} }{-x+\sqrt{x^2+1} } }{lnx}$

Aplicam L'Hopital

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{{\sqrt{x^2+1} } } =2$

Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului, limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

Un alt exercitiu cu limite gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918892

#BAC2022

#SPJ4