Question

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x^{2}+3}}$.

$5 p$

a) Arătati că $f^{\prime}(x)=\frac{3(x+1)}{\left(x^{2}+3\right) \sqrt{x^{2}+3}}, x \in \mathbb{R}$.

5p b) Calculați $\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x))^{x}$.

$5 p$ c) Demonstrați că $x^{5}+2 \sqrt{x^{10}+3} \geq 3$, pentru orice număr real $x$.

Answer 1

$f(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x^{2}+3}}$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}-(x-3)\frac{x}{\sqrt{x^2+3} } }{x^2+3} =\frac{x^2+3-x^2+3x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3} } =\frac{3(1+x)}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3} }$

b)

$\lim_{x \to +\infty} (\frac{x-3}{\sqrt{x^2+3} } )^x= \lim_{x \to +\infty} (\frac{(x-3)^2}{x^2+3 } )^{\frac{x}{2}} \\\\ \lim_{x \to +\infty} (\frac{x^2-6x+9}{x^2+3} )^{\frac{x}{2} }= \lim_{x \to +\infty} (1+\frac{6-6x}{x^2+3} )^{\frac{x}{2}}= \\\\= \lim_{x \to +\infty} [(1+\frac{6-6x}{x^2+3} )^{\frac{x^2+3}{6-6x}] ^{\frac{x}{2}\cdot \frac{6-6x}{x^2+3}}}=e^{ \lim_{x \to+ \infty} \frac{-6x^2+6x}{2x^2+6} }}=e^{-3}$

Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului, limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

c)

Monotonia functiei f

f'(x)=0

3(x+1)=0

x+1=0

x=-1

Tabel semn

x         -∞          -1                +∞

f'(x)- - - - - - - - - 0 + + + + + +

f(x)          ↓      f(-1)       ↑

                       -2

f este crescatoare pe [-1,+∞) si descrescatoare pe (-∞,-1]

f(-1)=-2

f(x)≥-2

$\frac{x-3}{\sqrt{x^{2}+3}}\geq -2\\\\x-3\geq -2\sqrt{x^2+3}\\\\x+ 2\sqrt{x^2+3}\geq 3\\\\\\Daca \ x=y^5\\\\Avem\ y^5+2\sqrt{y^{10}+3}\geq 3$

Un alt exercitiu cu limite gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919072

#BAC2022

#SPJ4