Question

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{e^{x}}{\sqrt{x^{2}+1}}$

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}\left(x^{2}-x+1\right)}{\left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}}, x \in \mathbb{R}$

\begin{tabular}{l|l}
\hline $5 p$ & b) Calculați $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x} .$ \\
$5 p$ & c) Determinați imaginea funcției $f .$ \\
$5 p$ & 2. Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{x^{2}+4} .$ \\
$5 p$ & b) Prătați că $\int_{0}^{2} f(x) d x=\frac{\pi}{8} .$
\end{tabular}

$5 p$ c) Determinați numărul real $a, a\ \textgreater \ 0$, pentru care $\int_{0}^{a} x f(x) d x=\frac{1}{2} \ln \frac{5}{4}$.

Answer 1

$f(x)=\frac{e^{x}}{\sqrt{x^{2}+1}}$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=\frac{e^x\sqrt{x^2+1}-e^x\frac{x}{\sqrt{x^2+1} } }{x^2+1} =\frac{e^x(x^2+1-x)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1} }$

b)

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x-e^{-1}}{\sqrt{x^2+1} } }{x} = \lim_{x \to 0 }\frac{e^x-e^{-x}}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1} }=2\\\\ Explicatie:\\\\ \lim_{x \to 0 }\frac{e^x-e^{-x}}{x}= \lim_{x \to 0 }\frac{(e^x-e^{-x})'}{x'}= \lim_{x \to 0 }\frac{e^x+e^{-x}}{1}=2\\\\ \lim_{x \to 0 }\frac{1}{\sqrt{x^2+1} }=1$

c)

Imaginea functiei f

f'(x)>0

Explicatie:

$x^2-x+1\\\\\Delta=1-4=-3 < 0\ avem\ semnul\ lui\ a,\ adica\ pozitiv$

$e^x > 0$

$x^2+1 > 0\\\\\sqrt{x^2+1} > 0$

f este strict crescatoare

$\lim_{x \to- \infty} f(x)=0\\\\ \lim_{x \to+ \infty} f(x)=+\infty$

Imaginea functiei f este (0,+∞)

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928471

#BAC2022

#SPJ4