Question

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & m \\ 4 & 1 & m \\ 1 & -m & -1\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\left\{\begin{array}{l}2 x+y+m z=4 \\ 4 x+y+m z=6, \text { unde } m \\ x-m y-z=-1\end{array}\right.$ este număr real.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $\operatorname{det}(A(0))=2$.

5p b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $m$ pentru care matricea $A(m)$ este inversabilă.

5p c) Demonstrați că, pentru orice $m \in \mathbb{R} \backslash\{-1,1\} [tex], soluția [tex] \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ a sistemului de ecuații verifică relația $\frac{y_{0}}{z_{0}}=x_{0}$

Answer 1

$A(m)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & m \\ 4 & 1 & m \\ 1 & -m & -1\end{array}\right)$

a)

Calculam det(A(0)), adaugam primele doua linii ale determinantului

$det(A(0))=\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0\\ 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right|$

                     2    1     0

                     4    1     0

det(A(0))=(-2+0+0)-(0+0-4)=-2+4=2

b)

A(m) este inversabila daca determinantul sau este diferit de zero

det(A(m))≠0

$det(A(m))=\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & m \\ 4 & 1 & m \\ 1 & -m & -1\end{array}\right|$

                       2      1      m

                       4      1      m

det(A(m))=-2-4m²+m-(m-2m²-4)=-2m²+2

-2m²+2≠0

-2(m²-1)≠0

m²-1≠0

m²≠1

m≠±1

m∈R\{-1,1}

c)

det(A(m))≠0

Metoda lui Cramer

$\Delta=-2m^2+2=-2(m-1)(m+1)$

$\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc}4 & 1 & m \\ 6 & 1 & m \\ -1 & -m & -1\end{array}\right|$

             4       1       m

             6       1       m

$\Delta_x=-4-6m^2-m-(-m-4m^2-6)=-2m^2+2\\\\x=\frac{\Delta_x}{\Delta} =1$

Inlocuim coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi

$\Delta_y=\left|\begin{array}{ccc}2 & 4& m \\ 4 &6& m \\ 1 & -1& -1\end{array}\right|$

           2     4     m

           4     6     m

$\Delta_y=-12-4m+4m-(6m-2m-16)=4-4m=4(1-m)\\\\y=\frac{4(1-m)}{-2(m-1)(m+1)} =\frac{2}{m+1}$

Inlocuim coloana coeficientilor lui y cu coloana termenilor liberi

$\Delta_z=\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 6 \\ 1 & -m & -1\end{array}\right|$

           2      1       4

           4      1       6

$\Delta_z=-2-16m+6-(4-12m-4)=-16m+12m+4=4-4m=4(1-m)\\\\z=\frac{2}{m+1}$

  Inlocuim coloana coeficientilor lui z cu coloana termenilor liberi

$\frac{y}{z}=x\\\\ 1=1\ Adevarat$

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919034

#BAC2022

#SPJ4