Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{2 x}(x-5)$.

$5 \mathbf{a}$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=e^{2 x}(2 x-9), x \in \mathbb{R}$.

5p b) Calculaţi $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$

5p c) Arătaţi că $e^{2 x} \leq \frac{e^{9}}{2(5-x)}$, pentru orice $x \in(-\infty, 5)$.

Answer 1

$f(x)=e^{2 x}(x-5)$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=2e^{2x}(x-5)+e^{2x}=e^{2x}(2x-10+1)=e^{2x}(2x-9)$

b)

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}(2x-9)}{e^{2x}(x-5)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x-9}{x-5} =2$

Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

c)

Facem monotonia functiei f

f'(x)=0

2x-9=0

$x=\frac{9}{2}$

Facem tabel semn

x        -∞      $\frac{9}{2}$        +∞

f'(x)  - - - - - 0 + + + +

f(x)      ↓    f($\frac{9}{2}$)     ↑

f(x)≥ f($\frac{9}{2}$)

$e^{2x}(x-5)\geq e^{2\cdot \frac{9}{2} }( \frac{9}{2} -5)\\\\e^{2x}(x-5)\geq e^9(-\frac{1}{2})\\\\ e^{2x}(x-5)\leq e^9\cdot \frac{1}{2} \\\\e^{2x}\leq \frac{e^9}{2(5-x)} \ pentru\ ca\ x-5 < 0$

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919126

#BAC2022

#SPJ4