Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(x+1) e^{-x}$.

5p a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=-x e^{-x}, x \in \mathbb{R}$.

5p b) Calculatii $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{(f(n))^{n}}{e^{n}(f(n+1))^{n}}$.

$5 p$ c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are două soluții reale distincte.

Answer 1

$f(x)=(x+1) e^{-x}$

a)

Derivam functia f prin formula (fg)'=f'g+fg'

f'(x)=(x+1)'e⁻ˣ +(x+1)(e⁻ˣ)'=e⁻ˣ-(x+1)e⁻ˣ=e⁻ˣ(1-x-1)=-xe⁻ˣ

b)

f(n)=(n+1)e⁻ⁿ

(f(n))ⁿ=[(n+1)e⁻ⁿ]ⁿ

f(n+1)=(n+2)e⁻ⁿ⁻¹

(f(n+1))ⁿ=[(n+2)e⁻ⁿ⁻¹]ⁿ

$\lim_{n \to \infty} \frac{[(n+1)e^{-n}]^n}{e^n[(n+2)e^{-n-1}]^n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{(n+1)e^{-n}}{e(n+2)e^{-n-1}} )^n= \lim_{n \to \infty} (\frac{(n+1)e^{-n}}{(n+2)e^{-n}} )^n$

Se simplifica e⁻ⁿ si ne ramane:

$\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n+2})^n=1^{\infty}$

Avem o limita remarcabila in care vom face urmatorul artificiu de calcul:

$\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n+2})^n=\lim_{n \to \infty}(\frac{n+2-1}{n+2})^n= \lim_{n \to \infty}[ (1+\frac{-1}{n+2})^{-(n+2)} ]^{\frac{-n}{n+2}}=\\\\=e ^{ \lim_{n \to \infty} \frac{-n}{n+2} }=e^{-1} =\frac{1}{e}$

c)

f'(x)=0

-xe⁻ˣ=0

x=0

Facem tabel semn

x        -∞         0            +∞

f'(x)   + + + + +0 - - - - -

f(x)        ↑      f(0)      ↓

                      1

f(0)=(0+1)e⁰=1

f este crescatoare pe (-∞,0) si descrescatoare pe (0,+∞) ⇒ f are doua solutii reale distincte, m∈(0,1)

Un exercitiu similar cu limite gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4614641

#BAC2022

#SPJ4