Question

Pe mulțimea $G=(0,1)$ se definește legea de compoziție asociativă $x * y=\frac{x y}{2 x y-x-y+1}$.

$5 p$ a) Arătați că $\frac{1}{3} * \frac{1}{3}=\frac{1}{5}$.

$5 \mathbf{p}$ b) Verificați dacă $e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție , *".

$5 \mathbf{p}$ c) Ştiind că $(G, *)$ este grup, demonstrați că funcția $f: G \rightarrow M, f(x)=\frac{1}{x}-1$ este un izomorfism de la grupul $(G, *)$ la grupul $(M, \cdot)$, unde $M=(0,+\infty)$ şi ," $\cdot$ reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

Answer 1

$x * y=\frac{x y}{2 x y-x-y+1}$

a)

$\frac{1}{3} *\frac{1}{3} =\frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} }{2 \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} +1}=\frac{\frac{1}{9} }{\frac{2}{9}-\frac{2}{3}+1 } =\frac{\frac{1}{9} }{\frac{2}{9}-\frac{6}{9}+\frac{9}{9} }=\\\\=\frac{\frac{1}{9} }{\frac{5}{9} }=\frac{1}{5}$

b)

Element neutru:

x*e=x

$x * e=\frac{xe}{2 x e-x-e+1}=x$

Inmultim pe diagonala si obtinem:

xe=2x²e-x²-xe+x

2x²e-x²-2xe+x=0

Dam factor comun intre primii doi termeni pe x² si intre ultimii doi termeni pe x

x²(2e-1)-x(2e-1)=0

Dam factor comun pe (2e-1)

(2e-1)(x²-x)=0

2e-1=0

$e=\frac{1}{2}$

c)

Izomorfism=au aceleași proprietăți intrinseci: orice proprietate a elementelor primei structuri se transpune pe cea de-a doua prin izomorfismul stabilit.

f(x*y)=f(x)·f(y)

$f(x*y)=\frac{1}{x*y}-1=\frac{1}{\frac{xy}{2xy-x-y+1} } -1=\frac{2xy-x-y+1}{xy} -\frac{xy}{xy}=\frac{xy-x-y+1}{xy}$

$f(x)\cdot f(y)=(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)=\frac{1}{xy}-\frac{1}{x} -\frac{1}{y}+1=\frac{1-y-x+xy}{xy}=\frac{xy-x-y+1}{xy}=f(x*y)$

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}-1=\frac{1}{0}-1=+\infty\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{1}{1}-1=0$

Din cele trei relatii de mai sus rezulta ca f este izomorfism de la grupupl (G,*) la grupul (M,·)

Un exercitiu similar cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1030778

#BAC2022

#SPJ4