Question

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3} e^{x}$.

5p a) Arătați că $\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x}} f(x) d x=\frac{1}{4}$.

5p b) Calculați $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} f(x) d x$.

5p c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ are un singur punct de inflexiune.

Answer 1

Pentru punctul a si b ai rezolvarea aici: https://brainly.ro/tema/9882032

c)

Pentru a calcula punctul de inflexiune vom calcula derivata a doua:

F este primitiva functiei f, adica F'(x)=f(x)

Derivata a doua a functiei F este F''(x)

Adica F''(x)=(f(x))'

f'(x)=0

3x²eˣ+x³eˣ=0

eˣ(3x²+x³)=0

3x²+x³=0

x²(3+x)=0

x=0 si x=-3

x                -∞           -3           0           +∞

F''(x)=f'(x)   - - - - - - - 0+ + + + 0 + + + + +

F(x)                ↓       F(-3)    ↑  F(0)      ↑

F este descrescatoare pe (-∞,3) si crescatoare pe (-3,0)∪(0,+∞)

Neavand alternanta de semn⇒ F are un singur punct de inflexiune

#BAC2022

#SPJ4