Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}$.

5p a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{x-2}{x^{2}}, x \in(0,+\infty)$.

$5 p$ b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcţiei $f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=-x$.

$5 \mathbf{p}$ c) Demonstrați că $f\left(\frac{\pi}{2}\right)\ \textless \ 0$.

Answer 1

$f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}$

a)

Derivam prin formula din tabelul de derivate (vezi atasament)

$f'(x)=(\ln x-\frac{2(x-1)}{x})'=\frac{1}{x}-\frac{2x-2(x-1)}{x^2} =\frac{x-2x+2x-2}{x^2}= \frac{x-2}{x^2}$

b)

Fie tangenta la graficul functiei f in punctul A(a,f(a))

Daca este paralela cu dreapta de ecuatie y=-x, pantele sunt egale

pant=-1

f'(a)=-1

$\frac{a-2}{a^2} =-1$

a-2=-a²

a²+a-2=0

(a-1)(a+2)=0

a=1 si a=-2

Dar a=-2<0, deci singura solutie este a=1

c)

Facem monotonia functiei f

f'(x)=0

x-2=0

x=2

x     -∞        0         2          +∞

f'(x)  - - - - -  - - - - - 0 + + + +

f(x)              ↓        f(2)     ↑

                         ln2-1

f(2)=ln2- 1

Pe intervalul (0,2) functia f este descrescatoare

$1 < \frac{\pi}{2}$ ⇒ $f(1) > f(\frac{\pi}{2} )\\\\f(1)=0\\\\0 > f(\frac{\pi}{2} )$

O problema similara de bac ar fi: https://brainly.ro/tema/9859439

#BAC2022

#SPJ4