Question

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{5}+x^{3}+2 x+2$.

$5 p$ a) Arătați că $\int_{-1}^{1}\left(f(x)-x^{3}-2 x-2\right) d x=0$.

$5 p$ b) Arătați că $\int_{0}^{2} e^{x}\left(f(x)-x^{5}-x^{3}-3 x-1\right) d x=-2$.

$5 p$ c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este convexă.

Answer 1

$f(x)=x^{5}+x^{3}+2 x+2$

a)

$\int\limits^1_{-1} { x^{5}+x^{3}+2 x+2-x^3-2x-2} \, dx =\int\limits^1_{-1}x^5\ dx=\frac{x^6}{6} |_{-1}^1=\frac{1}{6}- \frac{1}{6}=0$

b)

$\int\limits^2_0 {e^x(-x+1)} \, dx$

Integram prin parti

$f=-x+1\ \ \ \ \ \ \ \ f'=-1\\\\g'=e^x\ \ \ \ \ \ \ \ g=e^x$

$\int\limits^2_0 {e^x(-x+1)} \, dx=(-x+1)e^x|_0^2-\int\limits^2_0 {-e^x} \, dx=(-x+1)e^x|_0^2+e^x|_0^2=-e^2-e^0+e^2-e^0=-1-1=-2$

c)

Pentru a demonstra ca F este convexa vom calcula F''(x)

F-primitiva functiei⇒F'(x)=f(x)

F''(x)=f'(x)=5x⁴+3x²+2

5x⁴≥0 (putere para)

3x²≥0

2>0

⇒5x⁴+3x²+2≥0⇒ F''(x)≥0⇒ F este convexa pe R

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1229252

#BAC2022

#SPJ4