Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2020}-2020 x+1$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătaţi că $\int_{0}^{1}(f(x)+2020 x-1) d x=\frac{1}{2021}$.

$5 \mathbf{p}$ b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este convexă pe $[1,+\infty)$.

$5 \mathbf{p}$ c) Calculați $\int_{0}^{1}(f(-x)-f(x)) e^{x} d x$

Answer 1

$f(x)=x^{2020}-2020 x+1$

a)

$\int\limits^1_0 {( x^{2020}-2020 x+1+2020x-1)} \, dx =\int\limits^1_0 {( x^{2020})} \, dx =\frac{x^{2021}}{2021} |_0^1=\frac{1}{2021}$

Vezi tabelul de integrale in atasament

b)

Primitiva functiei f este F, F'(x)=f(x)

Pentru a studia convexitatea trebuie sa calculam derivata de ordin 2

F''(x)=(F'(x))'=f'(x)

$f'(x)=2020x^{2019}-2020=0$

$2020x^{2019}-2020=0\\\\\\2020x^{2019}=2020\\\\x^{2019}=1\\\\x=1$

Tabel semn

x                  -∞         1             +∞

F''(x)=f'(x)  - - - - - - - -0 + + + + +

F(x)              ∩         F(1)       ∪

Pe intervalul [1,+∞) functia este convexa

c)

$\int\limits^1_0 ({(-x)^{2020}-2020(-x)+1-x^{2020}+2020x-1})e^x \, dx =\int\limits^1_04040xe^x\ dx$

Calculam integrala prin integrare prin parti

f=4040x             f'=4040

g'=eˣ                g=eˣ

$\int\limits^1_0 4040xe^x\ dx=4040xe^x|_0^1-\int\limits^1_0 4040e^x\ dx=4040e-4040e^x|_0^1=4040e-4040e+4040=4040$

Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/5783061

#BAC2022

#SPJ4