Question

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)+1$.

$5 p$ a) Arătați că $f^{\prime}(5)=6$.

$5 p$ b) Calculați $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}\right)^{n}$.
$5 p$ c) Demonstrați că ecuația $f^{\prime}(x)=0$ are trei soluții reale.

Answer 1

$f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)+1$

a)

Calculam f'(x) conform tabel de derivare (vezi atasament)

f(x)=(x²-9x+20)(x²-5x+6)+1

f'(x)=(2x-9)(x²-5x+6)+(x²-9x+20)(2x-5)

f'(5)=1×6+0×5=6

b)

f(n)=(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)+1

f(n+1)=(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)+1

$\lim_{n \to +\infty} (\frac{(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)+1-1}{(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)+1-1} )^n= \lim_{n +\to \infty} (\frac{n-1}{n-5})^n=1^{\infty}$

$\lim_{n +\to \infty} (\frac{n-1}{n-5})^n= \lim_{n +\to \infty} (\frac{n-5+4}{n-5})^n= \lim_{n +\to \infty}[ (1+\frac{4}{n-5})^{\frac{n-5}{4} }]^{\frac{4n}{n-5}}=e^{ \lim_{n \to +\infty} \frac{4n}{n-5}}=e^4$

Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

c)

f'(x)=[(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)+1]'=[(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)]'

Fie g(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)

g(x)=0

x₁=5

x₂=4

x₃=3

x₄=2

x         -∞      2        3       4        5       +∞

g(x)      + + +0- - - - 0 + + 0- - - -0 + + +

              ↑         ↓        ↑       ↓         ↑

O consecinta a teoremei lui Rolle: Între două rădăcini consecutive ale derivatei unei functii derivabile pe un interval există cel mult o rădăcină a functiei            

Conform acesteia avem 3 radacini reale pe intervalele (2,3) , (3,4) si (4,5)

Un alt exercitiu cu teorema lui Rolle gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3874212

#BAC2022