Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ a & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2\end{array}\right)$, unde $a$ este număr întreg.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $\operatorname{det}(A(1))=7$.

$5 p$ b) Demonstrați că rangul matricei $A(a)$ este egal cu 3 , pentru orice număr întreg $a$.

$5 \mathbf{p}$ c) Determinați numărul întreg $m$ pentru care inversa matricei $A(m)$ are toate elementele numere intregi.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ a & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2\end{array}\right)$

a) det(A(1))=7

Calculam det(A(1)), inlocuind pe a cu 1, apoi adaugam primele doua linii ale determinantului

$det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2\end{array}\right|$

                      1    2    -1

                      1    1     1

det(A(1))=(2+0+6)-(-3+0+4)=8+3-4=11-4=7

b)

Trebuie sa demonstram ca det(A(a)) este diferit de 0, oricare ar fi a∈Z

$det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ a & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2\end{array}\right|$

                      1    2    -1

                     a    1      1

det(A(a))=(2+0+6)-(-3+0+4a)=8+3-4a=11-4a

Daca 11-4a=0

4a=11

$a=\frac{11}{4}\notin\ Z$

De aici ⇒ det(A(a))≠0, pentru a∈Z⇒randul matricei A(a) este 3

c)

Ne folosim de punctul b, stim ca det(A(a))≠0, pentru a∈Z⇒ det(A(m))≠0, pentru m∈Z⇒ A(m) este inversabila

Inversa unei matrici este:

$A^{-1}=\frac{1}{detA}\cdot A^*$

Calculam transpusa matricei, inversand linia cu coloana

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}1&m&3\\2&1&0\\-1&1&2\end{array}\right)$

Calculam $A^*$

Ne uitam la primul termen al matricei, care este 1, tai linia si coloana de pe care se afla si iti ramane sa calculezi determinantul de doua linii si doua coloane care ne ramane.

1 0

1 2

In fata determinantului vom inmulti cu $(-1)^{i+j}$, unde i si j reprezinta linia, respectiv coloana matricei

$A^*=\left(\begin{array}{ccc}2&-4&3\\-(2m-3)&5&-(1+m)\\-3&6&1-2m\end{array}\right)$

det(A(m))=11-4m

Inversa matricei A(m) este:

$A^{-1}(m)=\frac{1}{11-4m} \left(\begin{array}{ccc}2&-4&3\\-(2m-3)&5&-(1+m)\\-3&6&1-2m\end{array}\right)$

Pentru ca toti termenii matricei sa fie numere intregi reiese ca:

11-4m=1 sau 11-4m=-1

m∈z⇒ m=3

Mai multe despre inversa unei matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/5218430

#BAC2022