Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}+x^{2}+x+1$.

5p a) Arătați că $\int_{-1}^{1}\left(f(x)-x^{2}-x-1\right) d x=0$.

5p b) Arătaţi că funcția $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x$ este o primitivă a funcției $f$.

$5 p$ c) Determinaţi numerele reale $a$ pentru care $\int_{1}^{2} \frac{f(x)}{x^{2}+1} \cdot e^{x} d x=(a e)^{2}-e$.

Answer 1

$f(x)=x^{3}+x^{2}+x+1$

a)

Vezi tabelul de integrale din atasament

$\int\limits^1_{-1} {x^3} \, dx =\frac{x^4}{4}|_{-1}^1 =\frac{1}{4} -\frac{1}{4} =0$

b)

F este primitiva a functiei f

F'(x)=f(x)

$F'(x)=x^3+x^2+x+1=f(x)$

Vezi tabelul de derivate din atasament

c)

$\int\limits^2_1 {\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2+1} \cdot e^x} \, dx$

$\int\limits^2_1 {\frac{x^2(x+1)+x+1}{x^2+1} \cdot e^x} \, dx=\int\limits^2_1 {\frac{(x+1)(x^2+1)}{x^2+1} \cdot e^x} \, dx=\int\limits^2_1(x+1)e^x\ dx$

Integram prin parti

$f=x+1\ \ \ \ f'=1\\\\g'=e^x\ \ \ \ g=e^x$

$\int\limits^2_1 {\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2+1} \cdot e^x} \, dx=(x+1)e^x|_1^2-\int\limits^2_1 e^x\ dx=3e^2-2e-e^x|_1^2=3e^2-2e-e^2+e=2e^2-e\\\\2e^2-e=(ae)^2-e\\\\2=a^2\\\\a=\sqrt{2}\\\\ a=-\sqrt{2}$

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918990

#BAC2022

#SPJ4