Question

Se consideră funcțiile $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{3}-x-1}{x^{2}(x+1)}$ şi $F:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\frac{x^{2}+1}{x}-\ln (x+1)$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că funcția [tex]$F$[tex] este o primitivă a funcției [tex]$f$[tex].

$5 \mathbf{b}$ b) Calculați $\int_{1}^{2}(x+1) f(x) d x$.

$5 p$ c) Determinați numărul real $a, a\ \textgreater \ 1$, astfel încât $\int_{1}^{a} f(x) d x=\frac{1}{2}-\ln \frac{a+1}{2}$.

Answer 1

$f(x)=\frac{x^{3}-x-1}{x^{2}(x+1)}$

$F(x)=\frac{x^{2}+1}{x}-\ln (x+1)$

a)

F este primitiva a functiei f

F'(x)=f(x)

Vezi tabelul de derivate si integrale in atasament

$F'(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2} -\frac{1}{x+1} =\frac{(2x^2-x^2-1)(x+1)-x^2}{x^2(x+1)} =\frac{x^3+x^2-x-1-x^2}{x^2(x+1)}=\frac{x^3-x-1}{x^2(x+1)} =f(x)$

b)

$\int\limits^2_1 {\frac{x^3-x-1}{x^2} } \, dx$

"Spargem" integrala in 3 integrale si obtinem

$\int\limits^2_1 x\ dx-\int\limits^2_1 \frac{1}{x}\ dx-\int\limits^2_1 \frac{1}{x^2}\ dx=\frac{x^2}{2}|_1^2-lnx|_1^2-\frac{x^{-1}}{-1} |_1^2=2-\frac{1}{2}-ln2+\frac{1}{2} -1=1-ln2$

c)

Ne folosim de punctul a

$\int\limits^a_1 {f(x)} \, dx =F(x)|_1^a=F(a)-F(1)\\\\\frac{a^2+1}{a}-ln(a+1)-2+ln2=\frac{1}{2}-ln\frac{a+1}{2} \\\\ \frac{a^2+1}{a}-2-ln\frac{a+1}{2}=\frac{1}{2}-ln\frac{a+1}{2}\\\\ \frac{a^2+1}{a}-2=\frac{1}{2}$

Aducem la acelasi numitor comun 2a

2a²+2-4a=a

2a²-5a+2=0

Δ=25-16=9

$a_1=\frac{5+3}{4} =2\\\\a_2=\frac{5-3}{4} =\frac{1}{2}\ NU$

a=2

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918943

#BAC2022

#SPJ4