Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-\ln \left(2^{x}+1\right)$.

$5 p$ a) Arătați că $f^{\prime}(x)=1-\frac{2^{x} \ln 2}{2^{x}+1}, x \in \mathbb{R}$.

$5 p$ b) Demonstrați că funcția $f$ este crescătoare.

$5 p$ c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

Answer 1

$f(x)=x-\ln \left(2^{x}+1\right)$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

a)

$f'(x)=1-\frac{2^xln2}{2^x+1}$

b)

Monotonia functiei f

$0 < \frac{2^x}{2^x+1} < 1\ \ \ |\cdot ln2\\\\0 < \frac{2^xln2}{2^x+1} < ln2\ \ \ |\cdot (-1)\\\\0 > -\frac{2^xln2}{2^x+1} > ln2\ \ \ |+1\\\\1 > 1-\frac{2^xln2}{2^x+1} > 1+ln2$

f'(x)>0⇒ f este crescatoare

c)

Ecuatia asimptotei oblice

y=mx+n

$m= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} =\lim_{x \to -\infty} \frac{x-ln(2^x+1)}{x} =\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x} -\frac{ln(2^x+1)}{x} =1-0=1\\\\n=\lim_{x \to -\infty} f(x)-mx=\lim_{x \to -\infty} x-ln(2^x+1)-x=\lim_{x \to -\infty} -ln(2^x+1)=-ln1=0$

y=x

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928394

#BAC2022

#SPJ4