Question

Se consideră funcțiile f, g, h : R → R, f(x) = x + 2, g(x) = 2x - 1 şi h(x) = -x - 4. Aflați perimetrul triunghiului determinat de graficele celor trei funcţii. ​

Answer 1

Pentru a afla perimetrul triunghiului determinat de graficele a trei funcţii, de ecuații cunoscute, procedăm astfel:

• pasul 1: determinăm punctele de intersecție ale graficelor celor trei funcții

1. intersecția graficelor funcțiilor f și g:

$G_{f} \cap G_{g} \iff f(x) = g(x) \iff x+2=2x-1$

$2x-x = 2+1 \iff x = 3$

$f(3) = 3+2 = 5 \implies \bf G_{f} \cap G_{g} \to A(3;5)$

2. intersecția graficelor funcțiilor f și h:

$G_{f} \cap G_{h} \iff f(x) = h(x) \iff x+2=-x-4$

$x+x = -4-2 \iff 2x = -6 \implies x = -3$

$f(-3) = -3+2 = -1 \implies \bf G_{f} \cap G_{h} \to B(-3;-1)$

3. intersecția graficelor funcțiilor g și h:

$G_{g} \cap G_{h} \iff g(x) = h(x) \iff 2x-1=-x-4$

$2x+x = -4+1 \iff 3x = -3 \implies x = -1$

$g(-1) = -2-1 = -3 \implies \bf G_{g} \cap G_{h} \to C(-1;-3)$

• pasul 2: determinăm lungimile celor trei segmente, utilizând formula:

        $\boxed {AB = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} }}$

$AB = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} } = \sqrt{(-3 - 3)^{2} + (-1 - 5)^{2} } = \sqrt{(-6)^{2} + (-6)^{2} } = \sqrt{72} = \bf 6\sqrt{2}$

$BC = \sqrt{(x_{C} - x_{B})^{2} + (y_{C} - y_{B})^{2} } = \sqrt{(-1-(- 3))^{2} + (-3-(-1))^{2} } = \sqrt{2^{2} + (-2)^{2} } = \sqrt{8} = \bf 2\sqrt{2}$

$CA = \sqrt{(x_{C} - x_{A})^{2} + (y_{C} - y_{A})^{2} } = \sqrt{(-1 - 3)^{2} + (-3 - 5)^{2} } = \sqrt{(-4)^{2} + (-8)^{2} } = \sqrt{80} = \bf 4\sqrt{5}$

• pasul 3: calculăm perimetrul triunghiului

${\bf \mathcal{P}_{\Delta ABC}} = AB+BC+CA = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}+ 4\sqrt{5} = 8\sqrt{2} + 4\sqrt{5} =\bf 4(2\sqrt{2} + \sqrt{5}) \ u.m.$