Question

Se consideră funcţiile $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1-3 \ln x}{x^{4}}$ şi $F:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\frac{\ln x}{x^{3}}$.

$5 p$ a) Arătați că funcția $F$ este o primitivă a funcției $f$.
$5 \mathbf{p}$ b) Calculați $\int_{1}^{e} f(x) d x$
$5 \mathbf{p}$ c) Arătați că $\int_{e}^{e^{2}} x^{2} F(x) d x=\frac{3}{2}$

Answer 1

$f(x)=\frac{1-3 \ln x}{x^{4}}$

$F(x)=\frac{\ln x}{x^{3}}$

a) F este o primitiva a lui f, inseamna ca F'(x)=f(x)

Vom calcula F'(x) folosind formula $(\frac{f}{g}) '=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

$F'(x)=(\frac{\ln x}{x^{3}})'=\frac{\frac{1}{x}\times x^3-3x^2\times lnx }{x^6} =\frac{x^2-3x^2\times lnx }{x^6}$

Dam factor comun la numarator pe x² si simplificam cu numitorul si obtinem:

$F'(x)=\frac{x^2(1-3lnx)}{x^6} =\frac{1-3lnx}{x^4} =f(x)$⇒F este o primitiva a lui f

b)

Ne folosim de punctul a, F'(x)=f(x)⇒

$\int\limits^e_1 {f(x)} \, dx =F(x)|_1^e=\frac{lnx}{x^3}|_1^e=\frac{lne}{e^3}-\frac{ln1}{1^3}=\frac{1}{e^3}$

c)

$\int\limits^{e^2}_e {x^2\times \frac{lnx}{x^3} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {\frac{lnx}{x} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {lnx\times (lnx)' } \, dx =\frac{1}{2}ln^2x |_e^{e^2}=\frac{1}{2}ln^2e^2-\frac{1}{2} ln^2e =2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Nota:

$\frac{1}{x} =(lnx)'\\\\(ln^2x)'=2lnx\times (lnx)'=\frac{2lnx}{x}$

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/55614

#BAC2022

#SPJ4