Question

Pe mulțimea $M=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $x * y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

$5 \mathbf{a}$ a) Arătați că $N=\sqrt{33} * \sqrt{31}$ este un număr natural.

$5 p$ b) Determinați numărul $x \in M$ pentru care $(x * x * x)^{2}=300$.

$5 \mathbf{p}$ c) Se consideră funcția $f:(-\infty, 0] \rightarrow[0,+\infty), f(x)=\sqrt{-2020 x}$. Arătați că $f(x+y)=f(x) * f(y)$, pentru orice $x, y \in(-\infty, 0]$.

Answer 1

$x * y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

a)

Calculam √33*√31, inlocuind pe x cu √33 si pe y cu √31

$\sqrt{33} *\sqrt{31} =\sqrt{(\sqrt{33}) ^{2}+(\sqrt{31}) ^{2}}=\sqrt{33+31}=\sqrt{64} =8$

8∈N

b)

Calculam intai x*x

$x * x=\sqrt{x^{2}+x^{2}}=\sqrt{2x^2}=x\sqrt{2}$

Apoi calculam (x*x)*x

$(x * x)*x=x\sqrt{2}*x=\sqrt{(x\sqrt{2})^2+x^2 } =\sqrt{2x^2+x^2} =x\sqrt{3}$

Apoi calculam (x*x*x)²=300

$(x\sqrt{3})^2=300\\\\ 3x^2=300\\\\x^2=100\\\\x=10$

Avem doar solutia 10 pentru ca -10∉[0,+∞)

c)

$f(x)=\sqrt{-2020x}$

Calculam f(x+y) si f(y)

$f(x+y)=\sqrt{-2020(x+y)}$

$f(y)=\sqrt{-2020y}$

Calculam f(x)*f(y)

$f(x)*f(y)=\sqrt{-2020x+(-2020y)} =\sqrt{-2020(x+y)} =f(x+y)$

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1027370

#BAC2022

#SPJ4