Question

Se consideră funcţiile $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x}+x+1$ şi [tex]$g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{\sqrt{x}+2 x}{2 x}$/[tex].

5p a) Demonstraţi că funcţia $f$ este o primitivă a funcţiei $g$.
$5 \mathbf{p}$ b) Calculaţi $\int_{1}^{4} g(x) d x$
$5 p$ c) Determinaţi numărul real $m, m\ \textgreater \ 1$, pentru care $\int_{1}^{m} f(x) \cdot g(x) d x=20$.

Answer 1

$f(x)=\sqrt{x}+x+1$

$g(x)=\frac{\sqrt{x}+2 x}{2 x}$

a)

Daca functia f este o primitiva a functiei g, atunci f'(x)=g(x)

Calculam f'(x)

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x} } +1=\frac{\sqrt{x} }{2x}+1 =\frac{\sqrt{x} +2x}{2x}=g(x)$⇒ f este o primitiva a functiei g

b)

$\int\limits^4_1 {g(x)} \, dx =f(x)|_1^4=\sqrt{4}+4+1-(\sqrt{1}+1+1)=7-3=4$

Ne-am folosit de punctul a

f'(x)=g(x), atunci ∫g(x) dx=fx

c)

$\int\limits^m_1 {f(x)\cdot g(x)} \, dx =\int\limits^m_1 {f(x)\cdot f'(x)} \, dx =\frac{1}{2}f^2(x)|_1^m=\frac{1}{2}[(\sqrt{m}+m+1)^2- (\sqrt{1}+1+1)^2]$

$\frac{1}{2}[(\sqrt{m}+m+1)^2- (\sqrt{1}+1+1)^2] =20\ \ \ |\times 2$

$[(\sqrt{m}+m+1)^2- (\sqrt{1}+1+1)^2] =40\\\\(\sqrt{m}+m+1)^2-9=40\\\\(\sqrt{m}+m+1)^2=49\\\\\sqrt{m}+m+1=7, m=4\\\\\sqrt{m}+m+1=-7, nu\ se\ poate\ , m > 1$

Solutie finala: m=4

Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1287484

#BAC2022

#SPJ4