Question

Se consideră funcţiile $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x}+x+1$ şi [tex]$g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{\sqrt{x}+2 x}{2 x}$/[tex].

5p a) Demonstraţi că funcţia $f$ este o primitivă a funcţiei $g$.
$5 \mathbf{p}$ b) Calculaţi $\int_{1}^{4} g(x) d x$
$5 p$ c) Determinaţi numărul real $m, m\ \textgreater \ 1$, pentru care $\int_{1}^{m} f(x) \cdot g(x) d x=20$.

Answer 1

Răspuns:

a) f este derivabilă pe $(0,\infty)$ și

$f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}+1=\frac{\sqrt{x}}{2x}+1=\frac{\sqrt{x}+2x}{2x}=g(x)$

deci f este o primitivă a lui g.

b) $\displaystyle\int_1^4g(x)dx=\left. f(x)\right|_1^4=f(4)-f(1)=4$

c) $\displaystyle\int_1^mf(x)g(x)dx=\int_1^mf(x)f'(x)dx=\left.\frac{f^2(x)}{2}\right|_1^m=\frac{(\sqrt{m}+m+1)^2-9}{2}$

Rezultă

$(\displaystyle\sqrt{m}+m+1)^2=49\Rightarrow \sqrt{m}+m-6=0\Rightarrow m=4$

Explicație pas cu pas: