Question

Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție $x \circ y=2 x y+2 x+2 y$.

5p 1. Arătați că $1 \circ 2=10$.

5p 2. Demonstrați că $x \circ y=2(x+1)(y+1)-2$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$.

5p 3. Arătați că $x \circ(-1)=-2$, pentru orice număr real $x$.

5p 4. Determinați $x \in(0,+\infty)$ pentru care $\log _{2} x \circ \log _{2} x=-2$.

5p 5. Arătați că $(2 x+1) \circ x \geq-2$, pentru orice număr real $x$.

5p 6. Determinatii numerele naturale $m$ şi $n, m\ \textless \ n$, pentru care $m \circ n=10$.

Answer 1

$x \circ y=2 x y+2 x+2 y$

1.

$1\circ2=2\cdot 2+2+2\cdot 2=4+2+4=10$

2.

$x \circ y=2 x y+2 x+2 y\\\\2xy+2x+2y+2-2=2x(y+1)+2(y+1)-2=\\\\=(y+1)(2x+2)-2=2(x+1)(y+1)-2$

3.

$x \circ(-1)=-2x+2x-2=0-2=-2$

4.

$log_2x\circ log_2x=2(log_2x)^2+2log_2x+2log_2x=2(log_2x)^2+4log_2x$

$Notam\ log_2x=y\\\\2y^2+4y=-2\\\\2y^2+4y+2=0\ \ \ |:2\\\\y^2+2y+1=0\\\\(y+1)^2=0\\\\y=-1\\\\log_2x=-1\\\\x=\frac{1}{2}$

5.

$4x^2+2x+4x+2+2x\geq -2\\\\4x^2+8x+2\geq -2\\\\4x^2+8x+4\geq 0\\\\(2x+2)^2\geq 0$

Orice numar la o putere para este intotdeauna un numar pozitiv

6.

$2mn+2m+2n=10\\\\2(m+1)(n+1)-2=10\\\\2(m+1)(n+1)=12\ \ \ |:2\\\\(m+1)(n+1)=6$

m+1=2

m=1

n+1=3

n=2

m+1=1

m=0

n+1=6

n=5

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/5944755

#SPJ4