Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & a\end{array}\right)$ şi sistemul de ecuaţii $\left\{\begin{array}{c}x+2 y-z=2 \\ y+3 z=4 \quad, \text { unde } a \text { este } \\ 2 x-y+a z=2\end{array}\right.$ număr real.

$5 p$ a) Arătați că det $(A(1))=18$.

$5 \mathbf{p}$ b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

$5 p$ c) Pentru $a=1$, rezolvați sistemul de ecuatiii.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & a\end{array}\right)$

a)

Inlocuim pe a cu 1 si adaugam primele doua linii ale determinantului

$det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right|$

                      1     2      -1

                      0    1       3

det(A(1))=(1+0+12)-(-2-3+0)=13+5=18

b)

Sistemul de ecuatie are solutie unica daca determinantul este diferit de zero

$det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & a\end{array}\right|$

                      1     2      -1

                      0    1       3

det(A(a))=(a+0+12)-(-2-3+0)=a+12+5=a+17

a+17≠0

a≠-17

a∈R\{-17}

c)

a=1

det(A(1))=18

Metoda lui Cramer

Δ=18

$\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc}2 & 2 & -1 \\ 4 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right|$

           2     2     -1  

           4     1      3

$\Delta_x=2+4+12-(-2-6+8)=18+8-8=18\\\\x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=1$

Am inlocuit coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi

$\Delta_y=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 0 & 4 & 3 \\ 2 & 2& 1\end{array}\right|$

            1    2    -1

            0   4     3

$\Delta_y=4+0+12-(-8+6+0)=16+2=18\\\\y=1$

Am inlocuit coloana coeficientilor lui y cu coloana termenilor liberi

$\Delta_z=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 &2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & -1 &2\end{array}\right|$

            1     2    2

            0    1     4

$\Delta_z=2+0+16-(4-4+0)=18\\\\z=1$

Am inlocuit coloana coeficientilor lui z cu coloana termenilor liberi

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928397

#BAC2022

#SPJ4