Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 1 & -1 & -a \\ a & -1 & 1\end{array}\right)$ și sistemul de ecuaţii $\left\{\begin{array}{l}x+a y-z=a \\ x-y-a z=-1 \text {, unde } a \text { este } \\ a x-y+z=-1\end{array}\right.$ număr real.

$5 p$ a) Arătați că det $(A(1))=-4$.

$5 p$ b) Determinaţi mulțumea valorilor reale ale lui a pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.

$5 p$ c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ pentru care $x_{0}=y_{0}=z_{0}$.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 1 & -1 & -a \\ a & -1 & 1\end{array}\right)$

a)

Inlocuim pe a cu 1, adaugam primele doua linii ale determinantului

$det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1& -1 & 1\end{array}\right|$

                      1     1      -1

                      1    -1      -1

det(A(1))=(-1+1-1)-(1+1+1)=-1-3=-4

b)

Matricea A(a) este inversabila daca det(A(a)) este diferit de zero

$det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 1 & -1 & -a \\ a & -1 & 1\end{array}\right|$

                      1      a      -1

                      1     -1      -a

det(A(a))=(-1+1-a³)-(a+a+a)=-a³-3a

-a(a²+3)≠0

a≠0

a²≠-3

a∈R\{0}

c)

x=y=z

$\left\{\begin{array}{l}x+a x-x=a \\ x-x-a x=-1 \text {, unde } a \text { este } \\ a x-x+x=-1\end{array}\right.$

Din prima ecuatie obtinem ax=a

Din a doua ecuatie obtinem ax=1

Din a treia ecuatie obtinem ax=-1

ax=1 si ax=-1⇒ fals⇒ ca sistemul nu admite solutie pentru x=y=z

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9859456

#BAC2022

#SPJ4