Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2^{x}+3^{x}-4, & x \in(-\infty, 1) \\ \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}}, & x \in[1,+\infty)\end{array}\right.$.

5p a) Arătaţi că funcția $f [tex] este continuă pe [tex] \mathbb{R}$.

$5 p$ b) Demonstrați că funcția $f$ este crescătoare pe $(-\infty, 1)$.

$5 p$ c) Demonstraţi că $f(x) \leq 1$, pentru orice număr real $x$.

Answer 1

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2^{x}+3^{x}-4, & x \in(-\infty, 1) \\ \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}}, & x \in[1,+\infty)\end{array}\right.$

a)

Aratati ca functia este continua pe R

Studiem continuitatea in x=1

Daca limita la stanga este egala cu limita la dreapta si este egala cu f(1), atunci functia este continua in x=1

$l_s= \lim_{x \to1_{x < 1}} 2^x+3^x-4=2+3-4=1\\\\l_d=\lim_{x \to1_{x > 1}}\frac{x^2-x+1}{x^2} =1\\\\f(1)=1$

Functia este continua in x=1

f este continua pe (-∞,1) si (1,+∞)⇒ f este continua pe R

b)

Studiem monotonia functiei f pe (-∞,1)

f(x)=2ˣ+3ˣ-4

Ne folosim de tabelul de derivate (vezi atasament)

f'(x)=2ˣln2+3ˣln3

Functiile exponentiale sunt >0

ln2 si ln 3>0 f'(x)>0⇒ f este crescatoare pe (-∞,1)

c)

Am demonstrat la punctele anterioare ca f este crescatoare pe (-∞,1) si continua in x=1

Deci f(x)≤f(1)

f(1)=1⇒ f(x)≤1, pentru (-∞,1)

Studiem monotonia functiei f pe [1,+∞)

$f'(x)=\frac{(2x-1)x^2-(x^2-x+1)2x}{x^4} =\frac{2x^3-x^2-2x^3+2x^2-2x}{x^4}=\frac{x^2-2x}{x^4} =\frac{x-2}{x^3}$

f'(x)=0

x-2=0

x=2

Tabel semn

x         1       2        +∞

f'(x)     | - - - 0 + + +

f(x)        ↓   f(2)  ↑

                 

Pe intervalul (1,2) f este descrescatoare, iar pe intervalul (2,+∞) f este crescatoare⇒ f(x)≤1, pentru [1,+∞)

Mai multe detalii despre functii continue gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2867533

#BAC2022