Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{lll}2 & a & 2 \\ 3 & a & 2 \\ 2 & a & 5\end{array}\right)$ şi sistemul de ecuații $\left\{\begin{array}{l}2 x+a y+2 z=4 \\ 3 x+a y+2 z=1, \text { unde } a \text { şi } b \\ 2 x+a y+5 z=b\end{array}\right.$ sunt numere reale.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătaţi că $\operatorname{det}(A(1))=-3$.

$5 p$ b) Pentru $a=-1$ şi $b=-2$, rezolvați sistemul de ecuații.

$5 p$ c) Determinați numerele reale $a$ şi $b$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil nedeterminat.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{lll}2 & a & 2 \\ 3 & a & 2 \\ 2 & a & 5\end{array}\right)$

a) Calculam det(A(1)), inlocuind pe a cu 1 si adaugand primele doua linii ale determinantului:

$det(A(1))=\left|\begin{array}{lll}2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right|$

                      2   1    2

                      3   1    2

det(A(1))=(10+6+4)-(4+4+15)=20-23=-3

b)

Metoda lui Cramer:

Formam determinantul sistemului Δ si il calculam:

$\Delta=\left|\begin{array}{lll}2 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 5\end{array}\right|$

          2    -1    2

          3    -1    2

         

Δ=(-10-6-4)-(-4-4-15)=-20+23=3

Calculam $\Delta_x$, inlocuind coloana coeficientilor lui x cu coloana egalitatii(coloana termenilor liberi)

$\Delta_x=\left|\begin{array}{lll}4 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 5\end{array}\right|$

            4      -1      2

            1       -1      2

$\Delta_x=(-20-2+4)-(4-8-5)=-18+9=-9\\\\x=\frac{\Delta_x}{\Delta} =\frac{--9}{3}=-3$

x=-3

Calculam $\Delta_y$, inlocuind coloana coeficientilor lui y cu coloana egalitatii(coloana termenilor liberi)

$\Delta_y=\left|\begin{array}{lll}2 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 5\end{array}\right|$

           2    4     2

           3    1      2

$\Delta_y=(10-6+16)-(4-8+60)=12-54=-42\\\\y=\frac{\Delta_y}{\Delta} =\frac{-42}{3} =-14$

y=-14

Calculam $\Delta_z$, inlocuind coloana coeficientilor lui z cu coloana egalitatii(coloana termenilor liberi)

$\Delta_z=\left|\begin{array}{lll}2 & -1 & 4 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & -2\end{array}\right|$

           2     -1    4

           3     -1    1

$\Delta_z=(4-12-2)-(-8-2+6)=-10+4=-6\\\\z=\frac{\Delta_z}{\Delta} =-2$

z=-2

c)

Pentru ca un sistem sa fie compatibil nedeterminat, atunci determinantul trebuie sa fie egal cu 0 si rang A<n, adica rangA<3

Calculam det(A(a)) si il egalam cu 0

$det(A(a))=\left|\begin{array}{lll}2 & a & 2 \\ 3 & a & 2 \\ 2 & a & 5\end{array}\right|$

                     2   a    2

                     3   a    2

det(A(a))=(10a+6a+4a)-(4a+4a+15a)=-3a

-3a=0

a=0

$\left|\begin{array}{lll}2 & 2 \\ 3 &2\end{array}\right|=4-6=-2\neq 0$

$\Delta_y=\left|\begin{array}{lll}2 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & b\end{array}\right|=0$

           2   2   4

           3   2   1

$\Delta_y=(4b+60+4)-(16+10+6b)=0\\\\4b+64-26-6b=0\\\\2b=38\\\\b=19$

b=19

Un exercitiu similar cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4135216

#BAC2022

#SPJ4