Question

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}m & 1 & 1 \\ 2 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\left\{\begin{array}{c}m x+y+z=1 \\ 2 x+(m+1) y+z=2 \\ x+y+(m+1) z=m+1\end{array}\right.$, unde $m$ este număr real.

a) Arătați că $\operatorname{det}(A(0))=0$.

b) Demonstrați că, pentru $m=-3$, sistemul de ecuații nu are soluții.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $m$, sistemul de ecuații are cel mult o soluție.

Answer 1

$A(m)=\left(\begin{array}{ccc}m & 1 & 1 \\ 2 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1\end{array}\right)$

a)

Calculam det(A(0)), adaugam primele doua linii ale determinantului si obtinem:

$det(A(0))=\left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$

                      0   1    1

                      2   1    1

det(A(0))=(0+2+1)-(1+0+2)=3-3=0

b)

m=-3

$\left\{\begin{array}{c}-3 x+y+z=1 \\ 2 x+(-2) y+z=2 \\ x+y+(-2) z=-2\end{array}\right$

Adunam cele 3 ecuatii si obtinem:

0+0+0=1

0=1 Fals⇒ sistemul de ecuatii nu admite solutii

c)

Calculam det(A(m))

$det(A(m))=\left|\begin{array}{ccc}m & 1 & 1 \\ 2 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1\end{array}\right|$

                       m       1            1

                        2     m+1         1

det(A(m))=[m(m+1)²+2+1]-(m+1+m+2m+2)=m(m+1)²+3-4m-3=m(m+1)²-4m=m[(m+1)²-4]=m(m+1-2)(m+1+2)=m(m-1)(m+3)

Pentru m=0

$\left\{\begin{array}{c}y+z=1 \\ 2 x+ y+z=2 \\ x+y+ z=1\end{array}\right$

Prima relatie o inlocuim in ultima si obtinem

x+1=1

x=0

Dar daca o inlocuim in a doua obtinem

2x+1=2

2x=1 Ceea ce contrazice ⇒sistemul nu are solutii

Pentru m=1

$\left\{\begin{array}{c} x+y+z=1 \\ 2 x+2 y+z=2 \\ x+y+2z=2\end{array}\right$

x+y=1-z

Inlocuim in ultima relatie:

1-z+2z=2

1+z=2

z=1

x+y=0

Inlocuim in a doua relatie

2(x+y)+z=2

z=2 Ceea ce contrazice⇒ sistemul nu are solutii

Pentru m=-3 am demonstrat la punctul anterior ca sistemul nu are solutii

Deci pentru m∈R\{-3,0,1} det(A(m))≠0⇒ ca are cel putin o solutie

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919120

#BAC2022

#SPJ4