Question

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 0 \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

$5 p$ a) Arătați că $\operatorname{det}(A(x))=6^{x}$, pentru orice număr real $x$.

$5 p$ b) Determinați numărul real $x$, știind că $A(x) \cdot\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \cdot A(x)$.

5p c) Demonstrați că, orice matrice $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $X \cdot X=A(1)$ are două elemente numere iraționale.

Answer 1

$A(x)=\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 0 \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)$

a)

Calculam det(A(x)), facem diferenta dintre produsul diagonalelor

det(A(x))=2ˣ × 3ˣ-0=6ˣ

b)

$\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 0 \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 2^x \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2^{x} & 0 \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 3^x \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)$

$2^x=3^x\\\\x=0$

c)

$Fie\ X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c & d\end{array}\right)$

$X\cdot X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c & d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a^2+bc&ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{cc}a^2+bc&ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2&0\\ 0&3\end{array}\right)$

a²+bc=2

b(a+d)=0

b=0 si a+d=0

a=-d

c(a+d)=0

c=0

a=-d

bc+d²=3

d²=3⇒ d=±√3 care este numar irational

a²+bc=2

a²=2

a=±√2 care este numar irational

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919039

#BAC2022

#SPJ4